Question

【題目】已知：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

（1）如果CA=CB，求證：AE2+BF2=EF2；

（2）如圖2，如果CA＜CB，（1）中結論還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析

【解析】

（1）過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，連接EM，通過證明AM=BF，EF=EM即可得出答案；（2）延長FD至M，使DM=DF，連接AM、EM，根據（1）通過證明AM=BF，EF=EM即可得出答案．

解答：

（1）證明：過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，（或將△FBD旋轉180°）

連接EM．

∵AM∥BC，

∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．

∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，

∴△ADM≌△BDF．

∴AM=BF，MD=DF．

又DE⊥DF，∴EF=EM．

∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．

（2）成立．
證明：延長FD至M，使DM=DF，連接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2