Question

已知拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C、D點的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標．

Answer 1

（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，知m=1，n=5，
∴A（1，0），B（0，5），（1分）
∴

-1+b+c=0 c=5

即

b=-4 c=5

；
所求拋物線的解析式為y=-x²-4x+5．（3分）

（2）由-x²-4x+5=0，
得x₁=-5，x₂=1，
故C的坐標為（-5，0），（4分）
由頂點坐標公式，得D（-2，9）；（5分）
過D作DE⊥x軸于E，易得E（-2，0），
∴S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC=

1

2

×3×9+

5+9

2

×2-

1

2

×5×5=15．（7分）
（注：延長DB交x軸于F，由S_△BCD=S_△CFD-S_△CFB也可求得）

（3）設P（a，0），則H（a，-a²-4a+5）；
直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，須且只須BC等分線段PH，亦即PH的中點，
（a，

-a2-4a+5

2

）在直線BC上，（8分）
易得直線BC方程為：y=x+5；
∴

-a2-4a+5

2

=a+5．
解之得a₁=-1，a₂=-5（舍去），
故所求P點坐標為（-1，0）．（10分）