Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于P，連接MP．已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為多少；（用含x的代數式表示）
（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；
（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況？寫出你的研究成果．

Answer 1

（1）由題意可知C（0，8），又A（6，0），
所以直線AC解析式為：y=-

4

3

x+8，
因為P點的橫坐標與N點的橫坐標相同為6-x，代入直線AC中得y=

4

3

x，
所以P點坐標為（6-x，

4

3

x）；

（2）設△MPA的面積為S，在△MPA中，MA=6-x，MA邊上的高為

4

3

x，
其中，0≤x＜6，
∴S=

1

2

（6-x）×

4

3

x=

2

3

（-x²+6x）=-

2

3

（x-3）²+6，
∴S的最大值為6，此時x=3；
（3）延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA
①若MP=PA，
∵PQ⊥MA，
∴MQ=QA=x，
∴3x=6，
∴x=2；
②若MP=MA，則MQ=6-2x，PQ=

4

3

x，PM=MA=6-x，
在Rt△PMQ中，
∵PM²=MQ²+PQ²，
∴（6-x）²=（6-2x）²+（

4

3

x）²，
∴x=

108

43

；
③若PA=AM，
∵PA=

5

3

x，AM=6-x，
∴

5

3

x=6-x，
∴x=

9

4

，
綜上所述，x=2，或x=

108

43

，或x=

9

4

．