Question

【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B 在射線OM上運動,A、B不與點O重合，如圖1，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，

（1）點A、B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出∠ACB的大小.

（2）如圖2，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，則∠ABO＝________,

如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，則∠ABO＝________

（3）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線交于E、F，則∠EAF＝ ；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的倍，求∠ABO的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠AEB的大小不會發生變化，∠AEB=135°；（2）30°，60°；（3）90°，60°或72°．

【解析】試題分析：(1)、根據角平分線的性質得出角度，然后根據三角形的內角和定理得出答案；(2)、根據角度之間的關系就可以分別進行計算，得出答案；(3)、根據角平分線的性質得出∠E=∠ABO和∠EAF=90°，然后根據直角三角形中角的關系求出∠E的度數，從而得出∠ABO的度數.

試題解析：(1)、∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線

∴∠CAB=(180°-∠BAO)，∠CBA=(180°-∠ABO)

∴∠CAB+∠CBA=(180°-∠BAO +180°-∠ABO)=(360°-90°)=135°

∴∠ACB=180°-135°=45°，即∠ACB的大小不會改變，度數為45°.

(2)、30°，60°

(3)、∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,

∴∠EAO= ∠BAO,∠EOQ=∠BOQ, ∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO,

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線, ∴∠EAF=90°．

在△AEF中,∵有一個角是另一個角的倍,故有：

①∠EAF=∠E,，∠E=60°,∠ABO=120°； ②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；

③∠F=∠E,∠E=36°,∠ABO=72°； ④∠E=∠F,∠E=54°,∠ABO=108°．

∴∠ABO為60°或72°．