Question

【題目】閱讀材料：

如圖12-1，過銳角△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

解答下列問題：

如圖12-2，拋物線頂點坐標為點C(1，4)，交x軸于點A，交y軸于點B（0，3）.

(1)求拋物線解析式和線段AB的長度；

(2)點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連結PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；

(3)是否存在一點P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)3;(2)CD=2,3;(3)見解析.

【解析】（1）已知拋物線的頂點C的坐標，可設這個二次函數的解析式為，然后把A點坐標代入即可求出二次函數的解析式，繼而求出點B坐標，根據勾股定理即可求出AB的長；

（2）求出直線AB的解析式，由C點的橫坐標可求得D點的縱坐標，從而可求得CD的長，然后再根據題中給出的求三角形面積的求法進行求解即可得；

（3）可先根據（2）中三角形CAB的面積得出三角形PAB的面積，三角形PAB中，水平寬是A的橫坐標為定值，因此根據三角形PAB的面積可得出此時的鉛垂高，然后用拋物線的解析式以及一次函數的解析式，先表示出鉛垂高，然后根據由三角形PAB的面積求出的鉛垂高可得出關于x的方程，即可得出x的值，然后代入二次函數式中即可得出此點的坐標．

(1)設拋物線的解析式為：，

把B（0，3）代入解析式求得，

所以，

由求得A點的坐標為 ，

所以OA=3，OB=3，所以AB=；

(2) 設直線AB的解析式為：，

把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，得，

解得：k=-1，b=3，

所以y2=-x+3，

因為C點坐標為(１，4)，

所以當x＝１時，y1＝4，y2＝2，

所以CD＝4-2＝2，

(平方單位) ；

(3)假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，

則，

由S△PAB=S△CAB得：，

化簡得：，

△=-36<0，

所以不存在這樣的P點.