Question

【題目】問題與探索
問題情境：課堂上，老師讓同學們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數學活動．如圖（1），將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＞90°）沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．
操作發現：
（1）將圖（1）中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α=∠BAC，得到如圖（2）所示的△AC′D，分別延長BC和DC′交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是 ．

（2）創新小組將圖（1）中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α=2∠BAC，得到如圖（3）所示的△AC′D，連接DB、C′C，得到四邊形BCC′D，發現它是矩形，請證明這個結論．

Answer 1

【答案】
（1）菱形
（2）

解：如圖3中，過點A作AE⊥C′C于點E，

由旋轉的性質，得AC′=AC，

∴∠CAE=∠C′AE= α=∠ABC，∠AEC=90°，

∵BA=BC，

∴∠BCA=∠BAC

∴∠CAE=∠BCA，

∴AE∥BC．

同理，AE∥DC′，

∴BC∥DC′，

又∵BC=DC′，

∴四邊形BCC′D是平行四邊形，

又∵AE∥BC，∠AEC=90°，

∴∠BCC′=1800﹣900=900

∴四邊形BCC′D是矩形

【解析】解：（1）結論：菱形．
理由：如圖2中，

由題意∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=∠CAC′=∠AC′D
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′=∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四邊形ACEC′是平行四邊形，
∵AC=AC′，
∴四邊形ACEC′是菱形．
（1）結論：菱形．首先證明四邊形ACEC′是平行四邊形，再由AC=AC′即可證明結論．（2）如圖3中，過點A作AE⊥C′C于點E，首先證明DC′∥CB，DC′=BC，推出四邊形BCC′D是平行四邊形，再證明∠BCC′=900即可．