Question

在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于F.

（1） 求OA，OC的長；
（2） 求證：DF為⊙O′的切線；
（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直線BC上是否存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，請你證明點P與⊙O′的位置關系，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）解：在矩形ABCO中，設OC=x，則OA=x+2，
依題意得，x(x+2)=15.
解得（不合題意，舍去）
∴ OC="3" ，OA="5" .    …………………………………1分
（2）證明：連結O′D，在矩形OABC中，

∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E為BC的中點，
∴△OCE≌△ABE .
∴ EO="EA" .
∴∠EOA=∠EAO .
又∵O′O= O′D，
∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.
∴ O′D∥EA .
∵ DF⊥AE，
∴ DF⊥O′D .
又∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，
∴ DF為⊙O′的切線.    …………………………………3分
（3）答：存在 .
當OA=AP時，以點A為圓心，以AO為半徑畫弧，交BC于點和兩點，
則△AO、△AO均為等腰三角形.
證明：過點作H⊥OA于點H，則H=OC=3，
∵ A=OA=5，
∴ AH=4，OH=1.
∴（1,3）.
∵（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不與C、E重合，
∴ 點在⊙O′內.
類似可求（9,3）.
顯然，點在點E的右側，
∴點在⊙O′外.
當OA=OP時，同①可求得，（4,3），（-4,3）.
顯然，點在點E的右側，點在點C的左側
因此，在直線BC上，除了E點外，還存在點， ，，，它們分別使△AOP為等腰三角形，且點在⊙O′內，點、、在⊙O′外.     …………7分

略