Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）點D是該二次函數圖象上的一點，且滿足∠DBA=∠CAO（O是坐標原點），求點D的坐標；
（3）點P是該二次函數圖象上位于一象限上的一動點，連接PA分別交BC，y軸與點E、F，若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2 ， 求S1﹣S2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2；

（2）

解：當點D在x軸上方時，過C作CD∥AB交拋物線于點D，如圖1，

∵A、B關于對稱軸對稱，C、D關于對稱軸對稱，

∴四邊形ABDC為等腰梯形，

∴∠CAO=∠DBA，即點D滿足條件，

∴D（3，2）；

當點D在x軸下方時，

∵∠DBA=∠CAO，

∴BD∥AC，

∵C（0，2），

∴可設直線AC解析式為y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，

∴直線AC解析式為y=2x+2，

∴可設直線BD解析式為y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，

∴直線BD解析式為y=2x﹣8，

聯立直線BD和拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴D（﹣5，﹣18）；

綜上可知滿足條件的點D的坐標為（3，2）或（﹣5，﹣18）；

（3）

解：過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，如圖2，

設P（t，﹣ t2+ t+2），

由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

∴H（t，﹣ t+2），

∴PH=yP﹣yH=﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t，

設直線AP的解析式為y=px+q，

∴ ，解得 ，

∴直線AP的解析式為y=（﹣ t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣ t，

∴F（0，2﹣ t），

∴CF=2﹣（2﹣ t）= t，

聯立直線AP和直線BC解析式可得 ，解得x= ，即E點的橫坐標為 ，

∴S1= PH（xB﹣xE）= （﹣ t2+2t）（5﹣ ），S2= ，

∴S1﹣S2= （﹣ t2+2t）（5﹣ ）﹣ =﹣ t2+5t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，有S1﹣S2有最大值，最大值為 ．

【解析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）當點D在x軸上方時，則可知當CD∥AB時，滿足條件，由對稱性可求得D點坐標；當點D在x軸下方時，可證得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直線BD的解析式，再聯立直線BD和拋物線的解析式可求得D點坐標；（3）過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，可設出P點坐標，從而可表示出PH的長，可表示出△PEB的面積，進一步可表示出直線AP的解析式，可求得F點的坐標，聯立直線BC和PA的解析式，可表示出E點橫坐標，從而可表示出△CEF的面積，再利用二次函數的性質可求得S1﹣S2的最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．