Question

如圖，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF，延長BF交AC于E，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G
（1）試說明：△FBD≌△ACD；
（2）試說明：△ABC是等腰三角形；
（3）試說明：CE=

1

2

BF；
（4）求BG：GE的值（直接寫出答案）．

Answer 1

證明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，

DA=DF ∠BDC=∠ADC BD=CD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，

∠AEB=∠CEB=90° BE=BE ∠ABF=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE=

1

2

AC，
∴CE=

1

2

BF；

（4）連接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC邊的中點，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴CG=

2

GE，
即BG=

2

CE，
∴BG：GE=

2

．