Question

【題目】如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點D，延長AO交⊙O于點E，連接CD、CE，若CE是⊙O的切線．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，OC＝7，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=.

【解析】

（1）通過證明△EOC≌△DOC，可得∠ODC=∠OEC=90°，從而得CD是⊙O的切線；（2）連接DE，根據相似三角形的判定和性質解答即可．

（1）證明：連接OD

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴OC∥AB．

∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA，

∵AO＝DO，

∴∠A＝∠ODA．

∴∠EOC＝∠COD

∵OD＝OE，OC＝OC，

∴△ODC≌△OEC．

∴∠OEC＝∠ODC，

∵CE是⊙O的切線，

∴∠OEC＝90°，

∴∠ODC＝90°．

∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O切線；

（2）連接DE，

∵AE是⊙O直徑，

∴∠ADE＝90°，

∵∠ODC＝90°．

∴∠ADE＝∠ODC

∵∠COD＝∠ODA，∠A＝∠ODA

∴∠COD＝∠A，

∴△ADE∽△ODC．

∴．

∵⊙O的半徑為4，OC＝7．

∴，

∴BD=．