Question

如圖，AB為的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q。

（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由。

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長。

Answer 1

解析】解：（1）CD是⊙O的切線,

理由如下：連接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2

∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,

∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半徑∴CD是⊙O的切線

(2)連接AC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.

在Rt△ABC中,

BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×=.

在Rt△BPQ中BQ===10

∴QC=BQ-BC=10==