Question

如圖，AB為的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q。

（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由。

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）CD是⊙O的切線,。理由如下：

連接OC，

∵OC=OB，∴∠B=∠BCO。

又∵DC=DQ，∴∠Q=∠DCQ。

∵PQ⊥AB，∴∠QPB=90°。

∴∠B+∠Q=90°。∴∠BCO +∠DCQ =90°。

∴∠DCO=∠QCB－(∠BCO +∠DCQ)=180°－90°=90°。

∴OC⊥DC。

∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線。

（2）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。

在Rt△ABC中，BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×，

在Rt△BPQ中，，

∴。

【解析】

試題分析：（1）應用等腰三角形等邊對等角的性質、直角三角形兩銳角到余的關系和平角的性質，證明∠DCO=90°，即可得出結論。

（2）在Rt△ABC和Rt△BPQ中應用銳角三角函數求出BC和BQ的長，由求出結果。