Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB解析式為：y=-

3

3

x+

3

．直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若點C是AB的中點，過點C作CD⊥x軸于點D，E，F分別為BC，OD的中點，求點E的坐標；
（3）在第一象限內是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）將y=0代入y=-

3

3

x+

3

解得x=3，即A點坐標為（3，0）
將x=0代入y=-

3

3

x+

3

解得y=

3

，即B點坐標為（0，

3

）；

（2）證得：△ACD∽△ABO CD=

1

2

BO=

1

2

3

，AD=OD=

1

2

AO=

3

2

∵E，F分別為BC，OD的中點，CD∥BO
∴EF=

1

2

（BO+CD）=

1

2

（

3

+

1

2

3

）=

3

4

OF=

1

2

OD=

3

4

∴E（

3

4

，

3

4

） …5分

（3）當∠OBP=90°時，如圖①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，∴P₁（3，

3

3

）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1．
∴P₂（1，

3

）．
當∠OPB=90°時③過點P作OP⊥BC于點P（如圖②），此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點P作PM⊥OA于點M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

；PM=

3

OM=

3 3

4

．
∴（

3

4

，

3 3

4

）．
方法二：設P（x，-

3

3

x+

3

），得OM=x，PM=-

3

3

x+

3

，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM=

PM

OM

=tan∠ABO=

OA

OB

=

3

．
∴-

3

3

x+

3

=

3

x，解得x=

3

4

．此時，（

3

4

，

3 3

4

）．
④若△POB∽△OBA（如圖③），則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=

3

4

．
∴P₄（

3

4

，

3

4

）（由對稱性也可得到點P₄的坐標）．
當∠OPB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，

3

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）． …做出一種情況1分