Question

已知：拋物線y = x²+(2m－1)x + m²－1經過坐標原點，且當x < 0時，y隨x的增大而減小.

(1)求拋物線的解析式，并寫出y < 0時，對應x的取值范圍;

(2)設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B， DC⊥x軸于點C. ①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長;

②設動點A的坐標為 (a，b)，將矩形ABCD的周長L表示為a的函數并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標;如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)∵拋物線經過坐標原點(0,0)

∴m²－1=0

∴m = ±1

∴y = x²+x或y = x²－3x　

∵x<0時，y隨x的增大而減小

∴ y = x²－3x　

由圖象知：y<0時，0<x<3　

(2)①當BC=1時,由拋物線的對稱性知點B的縱坐標為－2．所以矩形的周長為6 …

(3)②∵點A的坐標為（a，b）

∴當點A在對稱軸左側時,矩形ABCD的一邊BC=3－2a，另一邊AB=3a－a²

周長L=－2a²+2a+6 ,其中 0＜a＜

當點A在對稱軸右側時,矩形的一邊BC=3－(6－2a)=2a－3, 另一邊AB=3a－a²

周長L=－2a²+10a－6，其中＜a＜3

∴當0＜a＜時，L=－2(a－)²+∴當a = 時，L_最大= ，A點坐標為(,－)

當＜a＜3時，L=－2(a－)²+ ∴當a = 時，L_最大= ，A點坐標為(,－)