Question

【題目】如圖，在三角形中，，，以為直徑作交于點，交于點，直線于點，交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)連接OD和CD，根據圓周角定理求出∠BDC=90°，根據等腰三角形的性質求出AD=BD，根據三角形的中位線求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根據切線的判定得出即可；
(2)根據余角的性質得到∠ADF=∠ODC，等量代換得到∠ADF=∠OCD，根據勾股定理得到CD=12，根據三角函數的定義即可得到結論．

（1）證明：如圖，連接OD，CD，

∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°（直徑所對的圓周角是90°），

即CD⊥AB，
∵AC=BC，AB=10，
∴AD=BD=5，
∵O為BC中點，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∴∠FDO=180°-90°=90°（兩直線平行，同旁內角互補），
∴OD⊥EF，
又∵OD過圓心O點，
∴直線DF是⊙O的切線；
（2）∵∠ADC=∠BDC=90°，∠ODF=90°，
∴∠ADF=∠ODC，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADF=∠OCD（等量替換），
∵BD=5，BC=13，
∴CD== 12（勾股定理），

；