Question

【題目】如圖所示，△ABC為Rt△，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點E為邊AC上的點，連結DE，過點E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，已知AC＝8．

（1）如圖1所示，當BC＝6，點G在邊AB上時，求DE的長．

（2）如圖2所示，若，點G在邊BC上時，求BC的長．

（3）①若，且點G恰好落在Rt△ABC的邊上，求BC的長．

②若（n為正整數），且點G恰好落在Rt△ABC的邊上，請直接寫出BC的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）BC＝4．（3）①BC＝2，BC＝8-16，②BC＝或．

【解析】

（1）利用關系式tan∠A＝，即可解決問題．

（2）如圖2中，設DE＝x，則EF＝EC＝2x．證明AE＝EC，BC＝2DE即可解決問題．

（3）①分點G在BC或AB上兩種情形分別求解．②解法類似①．

（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵D是AB中點，

∴AD＝DB＝5，

∵∠A＝∠A，

∴tan∠A＝，

∴，

∴．

（2）如圖2中，設DE＝x，則EF＝EC＝2x．

∵DE∥BC，AD＝DB，

∴AE＝EC＝2x，

∴4x＝8，

∴x＝2，

∴DE＝BC，

∴BC＝2DE＝4．

（3）①當點G落在BC邊上時，如圖2中，設DE＝x，則EF＝EC＝4x，

可得：AE＝EC＝4x，8x＝8，

∴x＝1，

∴BC＝2DE＝2．

當點G落在AB邊上時，

作DH⊥AC于H，設DH＝x，則CE＝4x，BC＝2x，EH＝4﹣4x，

利用△HDE∽△CAB，可得，解得，則．

②若（n為正整數）時，同法可知：或．