Question

已知O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為(2,0).

(1) 求點B的坐標；

 (2) 若二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A、B、O三點，求此二次函數的解析式；

 (3) 在(2)中的二次函數圖象的OB段(不包括點O、B)上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

略

解析:(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，

∴ OB=. 過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則  OD=，BD=，∴點B的坐標為().

 (2) 將A(2,0)、B()、O(0,0)三點的坐標代入y=ax2+bx+c，得

解方程組，有 a=，b=，c=0.

∴ 所求二次函數解析式是y=x2+x.

(3) 設存在點C(x , x2+x) (其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大.

∵△OAB面積為定值，

∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大.

過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則

S△OBC= S△OCF +S△BCF==，

而 |CF|=yC-yF=，

∴ S△OBC= .

∴ 當x=時，△OBC面積最大，最大面積為.

此時，點C坐標為()，四邊形ABCO的面積為