Question

如圖，在△ABC中，MP和NQ分別垂直平分AB和AC，連接AP和AQ．
（1）如果△APQ的周長為6厘米，BP=2厘米，QC=3厘米，求PQ的長．
（2）如果∠B=46°，∠C=34°，求∠PAQ的度數．
（3）如果∠BAC=110°，求∠PAQ的度數．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，MP和NQ分別垂直平分AB和AC，
∴AP=BP=2厘米，AQ=QC=3厘米，
∵△APQ的周長為6厘米，
即AP+AQ+PQ=6厘米，
∴PQ=6-2-3=1（厘米）；

（2）∵AP=BP，AQ=QC，
∴∠BAP=∠B=46°，∠CAQ=∠C=34°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=100°-46°-34°=20°；

（3）∵AP=BP，AQ=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-110°=70°，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=110°-70°=40°．
分析：（1）由在△ABC中，MP和NQ分別垂直平分AB和AC，根據線段垂直平分線的性質，即可得AP=BP=2厘米，AQ=QC=3厘米，又由△APQ的周長為6厘米，即可求得PQ的長．
（2）由AP=BP，AQ=QC，根據等邊對等角的知識，可得∠BAP=∠B=46°，∠CAQ=∠C=34°，又由三角形內角和定理，求得∠BAC的度數，繼而求得答案；
（3）由三角形內角和定理，可求得∠B+∠C的值，則可得∠BAP+∠CAQ的值，繼而求得答案．
點評：此題考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．