Question

【題目】在直角坐標系中，設x軸為直線l，函數y=﹣ x，y= x的圖象分別是直線l1 ， l2 ， 圓P（以點P為圓心，1為半徑）與直線l，l1 ， l2中的兩條相切．例如（ ，1）是其中一個圓P的圓心坐標．
（1）寫出其余滿足條件的圓P的圓心坐標；
（2）在圖中標出所有圓心，并用線段依次連接各圓心，求所得幾何圖形的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：①若圓P與直線l和l2都相切，

當點P在第四象限時，

過點P作PH⊥x軸，垂足為H，連接OP，如圖1所示．

設y= x的圖象與x軸的夾角為α．

當x=1時，y= ．

∴tanα= ．

∴α=60°．

∴由切線長定理得：∠POH= ×（180°﹣60°）=60°．

∵PH=1，

∴tan∠POH= = = ．

∴OH= ．

∴點P的坐標為（ ，﹣1）．

同理可得：

當點P在第二象限時，點P的坐標為（﹣ ，1）；

當點P在第三象限時，點P的坐標為（﹣ ，﹣1）；

②若圓P與直線l和l1都相切，如圖2所示．

同理可得：當點P在第一象限時，點P的坐標為（ ，1）；

當點P在第二象限時，點P的坐標為（﹣ ，1）；

當點P在第三象限時，點P的坐標為（﹣ ，﹣1）；

當點P在第四象限時，點P的坐標為（ ，﹣1）．

③若圓P與直線l1和l2都相切，如圖3所示．

同理可得：

當點P在x軸的正半軸上時，點P的坐標為（ ，0）；

當點P在x軸的負半軸上時，點P的坐標為（﹣ ，0）；

當點P在y軸的正半軸上時，點P的坐標為（0，2）；

當點P在y軸的負半軸上時，點P的坐標為（0，﹣2）．

綜上所述：其余滿足條件的圓P的圓心坐標有：

（ ，﹣1）、（﹣ ，1）、（﹣ ，﹣1）、

（ ，1）、（﹣ ，1）、（﹣ ，﹣1）、（ ，﹣1）、

（ ，0）、（﹣ ，0）、（0，2）、（0，﹣2）

（2）解：用線段依次連接各圓心，所得幾何圖形，如圖4所示．

由圖可知：該幾何圖形既軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，

由對稱性可得：該幾何圖形的所有的邊都相等．

∴該圖形的周長=12×（ ﹣ ）=8 ．

【解析】（1）對圓P與直線l和l2都相切、圓P與直線l和l1都相切、圓P與直線l1和l2都相切三種情況分別考慮，利用切線長定理和特殊角的三角函數值即可求出點P的坐標．（2）由圖可知：該幾何圖形既軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它的所有的邊都相等．只需求出其中的一條邊就可以求出它的周長．
【考點精析】利用切線長定理和軸對稱圖形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角；兩個完全一樣的圖形關于某條直線對折，如果兩邊能夠完全重合，我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就對稱軸．