Question

【題目】建立模型：

如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直線ED經過點B，過A作AD⊥ED于D，過C作CE⊥ED于E.則易證△ADB≌△BEC.這個模型我們稱之為“一線三垂直”.它可以把傾斜的線段AB和直角∠ABC轉化為橫平豎直的線段和直角，所以在平面直角坐標系中被大量使用.

模型應用：

(1)如圖2，點A（0，4)，點B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．

①若∠ABC＝90°，且點C在第一象限，求點C的坐標；

②若AB為直角邊，求點C的坐標；

(2)如圖3，長方形MFNO，O為坐標原點，F的坐標為（8，6），M、N分別在坐標軸上，P是線段NF上動點，設PN＝n，已知點G在第一象限，且是直線y＝2x一6上的一點，若△MPG是以G為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點G的坐標.

Answer 1

【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、.

【解析】

（1）①過C作CD垂直于x軸構造“一線三垂直”，再根據全等三角形的性質求解即可；②點C有四處，分別作出圖形，根據“一線三垂直”或對稱求解即可；（2）當點G為直角頂點時，分點G在矩形MFNO的內部與外部兩種情況構造“一線三垂直”求解即可．

（1）①如圖，過C作CD垂直于x軸，

根據“一線三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，

∵點A（0，4)，點B(3，0），∴AO=4，OB=3 ，

∴OD=3+4=7，

∴點C的坐標為（7,3）；

②如圖，若AB為直角邊，點C的位置可有4處，

a、若點C在①的位置處，則點C的坐標為（7,3）；

b、若點C在的位置處，同理可得，則點的坐標為（4,7）；

c、若點C在的位置處，則、關于點A對稱，

∵點A（0，4)，點（4,7），∴點的坐標為（-4,1）；

d、若點C在的位置處，則、C關于點B對稱，

∵點B(3，0），點C（7,3），∴點的坐標為（-1,-3）；

綜上，點C的坐標為（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；

（2）當點G位于直線y=2x-6上時，分兩種情況：

①當點G在矩形MFNO的內部時，如圖，過G作x軸的平行線AB，交y軸于A，交直線NF于點B，設G（x，2x-6）；

則OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；

則△MAG≌△GBP，得AM =BG，

即：12-2x=8-x，解得x=4，

∴G（4，2）；

當點G在矩形MFNO的外部時，如圖，過G作x軸的平行線AB，交y軸于A，交直線NF的延長線于點B，設G（x，2x-6）；

則OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；

則△MAG≌△GBP，得AM =BG，

即：2x-12=8-x，解得，

∴G ；

綜上，G點的坐標為（4，2）、.