Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4,與y軸交于點C，且過點(2,3)．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）若拋物線的頂點為D,連接CD、CB,問拋物線上是否存在點P,使得∠PBC+∠BDC=90°. 若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點K拋物線上C關于對稱軸的對稱點，點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、K、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由

Answer 1

（1）        ．
（2）存在,可證明DC⊥BC,由∠PBC+∠BDC=90°,知找一點P,使得∠PBC=∠DBC,故知P有兩個位置:(1,4)和
（3）存在4個這樣的點F，分別是

解析（1）拋物線的對稱軸：x=﹣=﹣=1，且AB=4，則 A（﹣1，0）、B（3，0）；
再代入點（2，3）后，可得：
，解得
∴二次函數的表達式：y=﹣x²+2x+3．
（2）由（1）知：y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，則 D（1，4）；
BC²=18、CD²=2、BD²=20，∴BC²+CD²=BD²，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即點D符合點P的要求，P₁（1，4）．
延長DC至E，使得DC=CE，則△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，則直線BE與拋物線的交點也符合點P的要求（B點除外）
通過圖示，不難看出點D、E關于點C對稱，則 E（﹣1，2），設直線BE：y=kx+b，則有：
，解得
∴直線BE：y=﹣x+，聯立拋物線的解析式后，得：
，解得（舍）、
∴P₂（﹣，）；
綜上，存在符合條件的點P，且坐標為（1，4）、（﹣，）．
（3）易知點K（2，3）；
由題意，A、F都在x軸上，根據平行四邊形的特點不難看出點G的縱坐標為3或﹣3；
當y_G=3時，﹣x²+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G點坐標為（0，3），
此時點F的坐標為（﹣1﹣2，0）或（﹣1+2，0），即（﹣3，0）、（1，0）；
當y_G=﹣3時，﹣x²+2x+3=﹣3，解得 x=1±，
∴G點坐標為（1+，0）或（1﹣，0），
此時點F的坐標為（4+，0）、（4﹣，0）；
綜上，有四個符合條件的點F，且坐標為（﹣3，0）、（1，0）、（4+，0）、（4﹣，0）．