Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限。

（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標；

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；

（3）設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

.解：（1）當∠BAO=45°時，四邊形OAPB為正方形

OA=OB=a·cos45°=a

∴P點坐標為（a，a）

（2）作DE⊥x軸于E,PF ⊥x軸于F,

設A點坐標為（m,0）,B點坐標為（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°

∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

則D點坐標為（m+n,m）

∵點P為BD的中點，且B點坐標為（0,n）

∴P點坐標為（,）∴PF=OF=

∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；

（3）當A,B分別在x軸正半軸和y軸負半軸上運動時，設PF與PA的夾角為α，

則0°≤α＜45°

h=PF=PA·cosα=a·cosα

∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1    

∴a＜h≤a

 

解析:略