Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）．

（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．

①求拋物線的解析式；

②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN．

Answer 1

【答案】（1）2a﹣b+2=0（a≠0）；（2）①y=﹣x2+2；②詳見解析.

【解析】

（1）由拋物線經過點A可求出c=2，再把（﹣，0）代入拋物線的解析式，即可得2a﹣b+2=0（a≠0）；

（2）①根據二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸為y軸、開口向下，進而可得出b=0，由拋物線的對稱性可得出△ABC為等腰三角形，結合其有一個60°的內角可得出△ABC為等邊三角形，設線段BC與y軸交于點D，根據等邊三角形的性質可得出點C的坐標，再利用待定系數法可求出a值，即可求得拋物線的解析式；②由①的結論可得出點M的坐標為（x1，﹣+2）、點N的坐標為（x2，﹣+2），由O、M、N三點共線可得出x2=﹣，進而可得出點N及點N′的坐標，由點A、M的坐標利用待定系數法可求出直線AM的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點N′在直線PM上，進而即可證出PA平分∠MPN．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），

∴c=2．

又∵點（﹣，0）也在該拋物線上，

∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，

∴2a﹣b+2=0（a≠0）．

（2）①∵當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，

∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，

∴當x＜0時，y隨x的增大而增大；

同理：當x＞0時，y隨x的增大而減小，

∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，

∴b=0．

∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B、C，

∴△ABC為等腰三角形，

又∵△ABC有一個內角為60°，

∴△ABC為等邊三角形．

設線段BC與y軸交于點D，則BD=CD，且∠OCD=30°，

又∵OB=OC=OA=2，

∴CD=OCcos30°=，OD=OCsin30°=1．

不妨設點C在y軸右側，則點C的坐標為（，﹣1）．

∵點C在拋物線上，且c=2，b=0，

∴3a+2=﹣1，

∴a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．

②證明：由①可知，點M的坐標為（x1，﹣+2），點N的坐標為（x2，﹣+2）．

直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）．

∵O、M、N三點共線，

∴x1≠0，x2≠0，且=，

∴﹣x1+=﹣x2+，

∴x1﹣x2=﹣，

∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，

∴點N的坐標為（﹣，﹣+2）．

設點N關于y軸的對稱點為點N′，則點N′的坐標為（，﹣+2）．

∵點P是點O關于點A的對稱點，

∴OP=2OA=4，

∴點P的坐標為（0，4）．

設直線PM的解析式為y=k2x+4，

∵點M的坐標為（x，﹣+2），

∴﹣+2=k2x1+4，

∴k2=﹣，

∴直線PM的解析式為y=﹣+4．

∵﹣+4==﹣+2，

∴點N′在直線PM上，

∴PA平分∠MPN．