Question

【題目】如圖，△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接BE，將BE繞點B順時針旋轉90°，得BF，連接AD，BD，AF

（1）如圖①，D、E分別在AC，BC邊上，求證：四邊形ADBF為平行四邊形；

（2）△DEC繞點C逆時針旋轉，其它條件不變，如圖②，（1）的結論是否成立？說明理由．

（3）在圖①中，將△DEC繞點C逆時針旋轉一周，其它條件不變，問：旋轉角為多少度時．四邊形ADBF為菱形？直接寫出旋轉角的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）旋轉角為135°或315°時，四邊形ADBF為菱形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，以及旋轉的性質，得出AD=BE，AD∥BF，進而得到四邊形為平行四邊形；
（2）先延長BE交AD于G，交AC于O，根據△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，判定△ACD≌△BCE（SAS），得出AD=BE，∠CAD=∠CBE，再根據“8字形”得出∠AGE=90°，判定AD∥BF，即可得出四邊形為平行四邊形；
（3）分兩種情況討論：當旋轉角時，當旋轉角為時，分別判定△ACD≌△BCD，得到 再根據四邊形為平行四邊形，得出四邊形為菱形．

試題解析：（1）如圖1，∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，

∴AC-DC=BC-EC，
∴AD=BE，
∵將BE繞點B順時針旋轉90°得BF，
∴BE=BF，
∴AD=BF，
又∵∠ACB=90°，∠CBF=90°，
∴∠C+∠CBF=180°，
∴AD∥BF，
∴四邊形ADBF為平行四邊形；
（2）如圖2，（1）中的結論仍成立．
理由：延長BE交AD于G，交AC于O，
∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴DC=EC，AC=BC，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
又∵BE=BF，∠ACB=90°，∠AOG=∠BOC，
∴AD=BF，∠AGE=90°，
∠AGB+∠EBF=180°，
∴AD∥BF，
∴四邊形ADBF為平行四邊形；

（3）旋轉角為135°或315°時，四邊形ADBF為菱形．
理由：如圖所示，當旋轉角∠BCE=135°時，∠ACE=45°，此時∠BCD=135°，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴AD=BD，
又∵四邊形ADBF為平行四邊形，
∴四邊形ADBF為菱形；
如圖所示，當旋轉角為315°時，∠BCE=45°，此時∠BCD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴AD=BD，
又∵四邊形ADBF為平行四邊形，
∴四邊形ADBF為菱形．