Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，點D是邊AB上的動點（點D與點A、B不重合），過點D作DE⊥AB交射線AC于E，連接BE，點F是BE的中點，連接CD、CF、DF．
（1）當點E在邊AC上（點E與點C不重合）時，設AD=x，CE=y．
①直接寫出y關于x的函數關系式及定義域；
②求證：△CDF是等邊三角形；
（2）如果BE=2

7

，請直接寫出AD的長．

Answer 1

（1）①∵∠A=60°，DE⊥AB，
∴∠AED=90°-60°=30°，
∴AE=2AD=2x，
又AC=AE+CE，
即3=2x+y，
∴y=-2x+3；定義域：0＜x＜

3

2

；…（2分）
②證明：在Rt△ECB和Rt△EDB中，∠ECB=∠EDB=90°．
∵點F是BE的中點，
∴CF=DF=

1

2

BE=BF．…（1分）
∴∠FCB=∠CBF，∠FDB=∠DBF．…（1分）
∴∠CFE=2∠CBF，∠DFE=2∠DBF．
∴∠CFE+∠DFE=2（∠CBF+∠DBF）．
即∠CFD=2∠CBA．…（1分）
∵∠A=60°，∴∠ABC=90°-60°=30°．
∴∠CFD=60°．…（1分）
∴△CDF是等邊三角形．…（1分）

（2）∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，
∴BC=3tan60°=3

3

，
在Rt△BCE中，CE=

BE2-BC2

=

(2 7 )2-(3 3 )2

=1，
當點E在AC上時，AD=

1

2

AE=

1

2

（3-1）=1，
當點E在射線AC上時，AD=

1

2

AE=

1

2

（3+1）=2，
∴AD的長是1或2． …（一解正確得2分；兩解正確得3分）