Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣8，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，并延長(zhǎng)CD交拋物線于點(diǎn)E，連接AC，AE，求△ACE的面積；

（4）拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成△ABM，是否存在S△ADM=S△ACD？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x﹣6；

（2）B（﹣2，0）；

（3）S△ACE= 7.5；

（4）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，）或（﹣5，）或（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣）時(shí)，S△ADM=S△ACD．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

（2）化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程即可得；

（3）求出直線CE的解析式，然后求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用S△ACE=S△ADE+S△ACD進(jìn)行計(jì)算即可得；

（4）設(shè)M（x，﹣x2﹣4x﹣6），根據(jù)S△ABM=S△ACD，通過(guò)計(jì)算即可得.

試題解析：（1）根據(jù)題意得，解得，

所以拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x﹣6；

（2）y=﹣（x+4）2+2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，2）；

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2﹣4x﹣6=0，解得x1=﹣6， x2=﹣2，則B（﹣2，0）；

（3）設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，

把D（﹣4，0），C（﹣8，﹣6）代入得，解得，

所以直線CD的解析式為y=x+6，

解方程組 得 或，則E（﹣3，），

所以S△ACE=S△ADE+S△ACD=×2×+×2×6=7.5；

（4）存在．

設(shè)M（x，﹣x2﹣4x﹣6），

∵S△ABM=S△ACD，

∴×4|﹣x2﹣4x﹣6|=××2×3，

當(dāng)﹣x2﹣4x﹣6=，解得x1=﹣3，x2=﹣5，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，）或（﹣5，）；

當(dāng)﹣x2﹣4x﹣6=﹣，解得x1=﹣4+，x2=﹣4﹣，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣），

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，）或（﹣5，）或（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，﹣）時(shí)，S△ADM=S△ACD．