Question

【題目】我們知道，若線段上的個點把這條線段分制為兩部分，其中較長的一部分與全長之比等于時，則這個點稱為黃金分割點。類比三角形中線的定義，我們規定:連接三角形的一個頂點和它對邊的黃金分割點的線段叫做該三角形的黃金分割線.

(1)如圖1，CD是△ABC的黃金分割線(AD> BD)，△ABC的面積為4,求△ACD的面積 ；

(2)如圖2,在△ABC中,∠A= 36°，AB=AC=1，過點B作BD平分∠ABC，與AC相交于點D，求證: BD是△ABC的黃金分割線.

(3)如圖3，BE、CD是△ABC的黃金分割線(AD> BD，AE> CE)，BE、CD相交于點O.

①設△BOD與△COE的面積分別為S1、S2 ,請猜想S1、S2之間的數量關系,并說明理由；

②求的值.

Answer 1

【答案】（1）2-2；（2）見解析；（3）①S1=S2；②.

【解析】

（1）設△ABC中AB邊上的高為h，根據AD=AB，得出S△ACD=×ABh，從而可求出△ACD的面積；

（2）根據題意得出AD=BD=BC，求得△BCD∽△ABC，根據相似三角形的性質可得CD：BC=BC：AC，求得BC即可得解；

（3）①連接ED，根據題意得出S△ABE=S△ACD，即可得解；②求得△ADE∽△ABC，進一步求得△ODE∽△OCB，然后根據OD：OC=DE：BC=求解即可.

（1）根據題意可知：AD：AB=，設△ABC中AB邊上的高為h，

則AD=AB，

∴S△ACD=ADh=×ABh=×4=2-2;

（2）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵過點B作BD平分∠ABC，與AC相交于點D，

∴∠CBD=∠A=36°，∠BDC=∠C=72°，

∴AD=BD=BC，

∴△BCD∽△ABC，

∴CD：BC=BC：AC，即，

解得BC=，

∴AD=，即D點是AC的黃金分割點，

∴BD是△ABC的黃金線；

（3）①S1=S2，理由如下：

如圖，連接ED，

根據題意可得AD:AB=AE:AC=，

∴S△ABE:S△ABC=S△ACD:S△ABC=，

∴S△ABE=S△ACD，

∴S△COE=S△BOD，即S1=S2；

②由①得AD:AB=AE:AC，

又∵∠A是公共角，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠DEA=∠BCA，DE:BC=AE:AC=，

∴DE∥BC，

∴△ODE∽△OCB，

∴OD:OC=DE:BC=，

∴OD:CD==.