Question

如圖，AB是⊙O的直徑，O為圓心，AB=20，DP與⊙O相切于點D，DP⊥PB，垂足為P，PB與⊙O交于點C，PD=8．
①求BC的長；
②連接DC，求tan∠PCD的值；
③以A為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，求直線BD的解析式．

Answer 1

解：①連接AC，OD，相交于點F，
∵AB是⊙O的直徑，DP與⊙O相切于點D，
∴∠ACB=90°，OD⊥PD，
∵DP⊥PB，
∴∠P=∠ODF=∠BCF=90°，
∴四邊形PDFC是矩形，
∴CF=PD=8，
∴AF=CF=8，
即AC=16，
在Rt△ABC中，AB=20，
∴BC==12；

②∵OA=OD=AB=10，AF=8，
∴在Rt△AOF中，OF==6，
∴DF=OD-OF=10-6=4，
∵四邊形PDFC是矩形，
∴PC=DF=4，
∴tan∠PCD===2；

③過點D作DE⊥AB于點E，
∵OD∥PB，
∴∠DOE=∠ABC，
在Rt△ABC中，sin∠ABC==，cos∠ABC==，
∴sin∠DOE=，cos∠DOE=，
∴DE=OD•sin∠DOE=10×=8，OE=OD•cos∠DOE=10×=6，
∴AE=OA-OE=10-6=4，
∴點D的坐標為：（4，8），點B的坐標為：（20，0），
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線BD的解析式為：y=-x+10．
分析：①首先連接AC，OD，相交于點F，易證得四邊形PDFD是矩形，即可求得CF=PD=8，然后由垂徑定理，求得AC的長，然后由勾股定理求得BC的長；
②由勾股定理可求得OF的長，繼而求得DF，即PC的長，則可求得tan∠PCD的值；
③首先過點D作DE⊥AB于點E，利用三角函數的知識即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法即可求得直線BD的解析式．
點評：此題考查了切線的性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數的性質以及待定系數法求一次函數的解析式的知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．