Question

【題目】學之道在于悟，希望同學們在問題（1）解決過程中有所感悟，再繼續探索研究問題（2）（3）．

（1）如圖①，D在線段BC上，∠B=∠C=∠ADE，AD=DE．求證：△ABD≌△DCE．

（2）如圖②，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，在CB的延長線上有一動點D，連接AD，以AD為直角邊作等腰直角三角形ADE（∠ADE=90°，AD=DE ），連接EB并延長，與AC的延長線交于點F．當動點D在運動過程中，CF的長度是否會發生變化，如果變化，請說明理由；如果不變，請求出CF的長．

（3）如圖③，射線AM與BN，MA⊥AB，NB⊥AB，點P是AB上一點， PA=1，PB=2，在射線AM與BN上分別作點C、點D，滿足△CPD為等腰直角三角形．則△CPD的面積為 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）不變 ，CF=4；（3）面積為

【解析】

（1）利用AAS定理進行全等三角形的判定；

（2）利用等腰直角三角形的判定進行證明；

（3）分情況討論.

（1）證明：∵ ,

,

在△ABD和△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（AAS），

（2）不變 ，CF=4

理由為：過點E作

,

在△ACD和△DEH中，

∴△ACD≌△DHE（AAS）

∴EH=CD DH=AC

又∵AC=BC ∴DH=CB

∴DH+BD=CB+BD 即CD=BH

∴EH=BH ∴

∴∴△BCF為等腰直角三角形

∴CF=BC=4

(3)有三種情況，PC=PD、CP=CD、DC=DP，
如圖所示：

圖2中，當PC=PD時，由題意可證△CAP≌△PBD，∴CP= ，所以

當PC=CD時，作DE⊥AM

易證△EDC≌△CAP，且四邊形DEAB為矩形，

∴DE=AB=3,EC=AP=1,

∴CD=

所以

當CD=PD時，

作CF⊥BN,

易證△FDC≌△CAP，且四邊形DABF為矩形，

∴CF=AB=3,FD=PB=2,

∴CD=

所以

綜上所述，面積為