Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為（1，0），與y軸的交點坐標為（0，）．R（1，1）是拋物線對稱軸l上的一點．

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；

（2）若P是拋物線上的一個動點（如圖一），求證：點P到R的距離與點P到直線y=﹣1的距離恒相等；

（3）設直線PR與拋物線的另一交點為Q，E為線段PQ的中點，過點P、E、Q分別作直線y=﹣1的垂線．垂足分別為M、F、N（如圖二）．求證：PF⊥QF．

 

Answer 1

（1）解：設拋物線解析式為y=a（x﹣1）²，

把（0，）代入得a=，

所以拋物線解析式為y=（x﹣1）²；

（2）證明：如圖1，設P（x，（x﹣1）²），則PM=（x﹣1）²+1，

∵PR²=（x﹣1）²+[（x﹣1）²﹣1]²=（x﹣1）²+[（x﹣1）]⁴﹣（x﹣1）²+1=[（x﹣1）]⁴+（x﹣1）²+1=[（x﹣1）²+1]²，

∴PR=（x﹣1）²+1，

∴PR=PM，

即點P到R的距離與點P到直線y=﹣1的距離恒相等；

（3）證明：由（2）得QN=QR，PR=PM，

∴PQ=PR=QR=PM+QN，

∵EF⊥MN，QN⊥MN，PM⊥MN，

而E為線段PQ的中點，

∴EF為梯形PMNQ的中位線，

∴EF=（QN+PM），

∴EF=PQ，

∴EF=EQ=EP，

∴點F在以PQ為直徑的圓上，

∴∠PFQ=90°，

∴PF⊥QF．