Question

已知二次函數的圖象如圖．
（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由，
得，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
如圖1，設平移后的拋物線的解析式為，
則C（0，k）OC=k，
令y=0即，
得，x₂=3-，
∴A，B，
∴，
=2k²+8k+36，
∵AC²+BC²=AB²
即：2k²+8k+36=16k+36，
得k₁=4，k₂=0（舍去），
∴拋物線的解析式為，

方法二：
∵，∴頂點坐標，
設拋物線向上平移h個單位，則得到C（0，h），頂點坐標，
∴平移后的拋物線：，
當y=0時，，得，x₂=3+，
∴A，B，
∵∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，則OC²=OA•OB，
即，
解得h₁=4，h₂=0（不合題意舍去），
∴平移后的拋物線：；

（3）方法一：
如圖2，由拋物線的解析式可得，
A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
過C、M作直線，連接CD，過M作MH垂直y軸于H，則MH=3，
∴，
，
在Rt△COD中，CD==AD，
∴點C在⊙D上，
∵，
∴DM²=CM²+CD²
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直線CM與⊙D相切．

方法二：
如圖3，由拋物線的解析式可得A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
作直線CM，過D作DE⊥CM于E，過M作MH垂直y軸于H，則MH=3，，由勾股定理得，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半徑為5．
∴直線CM與⊙D相切．
分析：（1）根據對稱軸公式求出x=-，求出即可；
（2）假設出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點坐標，再利用勾股定理求出即可；
（3）由拋物線的解析式可得，A，B，C，M各點的坐標，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理以及逆定理的應用，利用數形結合得出是解決問題的關鍵．