Question

請閱讀如下材料．如圖，已知正方形ABCD的對角線ACBD于點O，E是AC上一點，AG⊥BE，垂足為G．求證：OE=OF．

（1）根據你的理解，上述證明思路的核心是利用______使問題得以解決，而證明過程中的關鍵是證出______．
（2）若上述命題改為：點E在AC的延長線上，AG⊥BE交EB的延長線于點G，延長AG交DB的延長線于點F，如圖，其他條件不變．求證：OF=OE．

Answer 1

【答案】分析：根據正方形對角線互相垂直平分的性質可以證明OA=OB，（1）求證∠1=∠2，進而證明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求證∠E=∠F，進而證明Rt△AOF≌Rt△BOE，根據全等三角形對應邊相等的性質即可得OE=OF．
解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，且OA=OB．
又∵AG⊥BE，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3，
即∠1=∠2，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF（AAS），
∴OE=OF．
（1）三角形全等，∠1=∠2

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOF=∠BOE=90°，且OA=OB，
又∵∠F+∠FAO=90°，∠E+∠FAO=90°，
即∠E=∠F
∴Rt△AOF≌Rt△BOE，
∴OE=OF．
點評：本題考查了正方形各邊長相等、各內角為直角的性質，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證Rt△AOF≌Rt△BOE是解題的關鍵．