Question

【題目】如圖，將平行四邊形ABCD的邊AB延長至點E，使BE=AB，連接DE，EC，DE，交BC于點O．

（1）求證：△ABD≌△BEC；
（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．

又∵AB=BE，

∴BE=DC，

∴四邊形BECD為平行四邊形，

∴BD=EC．

∴在△ABD與△BEC中，

，

∴△ABD≌△BEC（SSS）

（2）

證明：由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，

∴∠OCD=∠ODC，

∴OC=OD，

∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，

∴平行四邊形BECD為矩形

【解析】（1）由平行四邊形ABCD，易得四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；（2）由（1），易證得BC=ED，即可證得四邊形BECD是矩形．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．