Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；
（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標(biāo)．再根據(jù)C點在拋物線上，C點的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線中即可得出C點的坐標(biāo)．再根據(jù)兩點式方程即可解出AC的函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)P點在AC上可設(shè)出P點的坐標(biāo)．E點坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得．因為PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點之間的距離為y_p-y_E，列出方程后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；
（3）存在四個這樣的點．

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標(biāo)是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標(biāo)為（1+

7

，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為（4+

7

，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-

7

，0）；
綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．

解答：解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3
∴A（-1，0）B（3，0）
將C點的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3得y=-3
∴C（2，-3）
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；

（2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2）
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1）
E（x，x²-2x-3）
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)x=

1

2

時，PE的最大值=

9

4

；

（3）存在4個這樣的點F，分別是F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），F(xiàn)₃（4+

7

，0），F(xiàn)₄（4-

7

，0）．

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標(biāo)是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標(biāo)為（1+

7

，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+

7

．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為（4+

7

，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-

7

，0）．
綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．