Question

【題目】如圖，線段AC、BD交于點M，過B、D兩點分別作AC的垂線段BF、DE，AB=CD.

（1）若∠A=∠C，求證FM=EM；

（2）若FM=EM，則∠A=∠C.是真命題嗎？（直接判斷，不必證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）真命題，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）由條件可先證明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，再證明△BFM≌△DEM，可得到FM=EM；

（2）由條件可先證明△BFM≌△DEM，可得BF=DE，再證明△ABF≌△CDE，可得∠A=∠C．

試題解析：（1）∵BF⊥AC，DE⊥AC，

∴∠AFB=∠CED，

在△ABF和△CDE中， ，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴BF=DE，

在△BFM和△DEM中， ，

∴△BFM≌△DEM（AAS），

∴FM=EM；

（2）真命題；理由如下：

∵BF⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BFM=∠DEM=90°，

在△BFM和△DEM中， ，

∴△BFM≌△DEM（ASA），

∴BF=DE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），

∴∠A=∠C．