Question

【題目】已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．

（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；

（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；

（3）如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BM=ME=；（3）證明見解析.

【解析】

（1）如圖1，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可.

（2）如圖2，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線.

（3）如圖3，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME.

（1）如圖1，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD.

∴點B為線段AD的中點.

又∵點M為線段AF的中點，

∴BM為△ADF的中位線.

∴BM∥CF.

（2）如圖2，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點.

∴BM=DF.

分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a.

∴點E為FG中點，又點M為AF中點.

∴ME=AG.

∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a.

∴BM=ME=.

（3）如圖3，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD.

∴點B為AD中點.

又點M為AF中點，∴BM=DF.

延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG.

∴點E為FG中點.

又點M為AF中點，∴ME=AG.

在△ACG與△DCF中，∵，

∴△ACG≌△DCF（SAS）.

∴DF=AG，∴BM=ME.