Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，⊙O1與x軸相切于點A（-2，0），與y軸交于B、C兩點，O1B的延長線交x軸于點D（，0），連結AB．

（1）求證：∠ABO1=∠ABO；

（2）設E為優弧的中點，連結AC、BE交于點F，請你探求BE·BF的值．

（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O2與y軸的正半軸交于點M，與BD的延長線交于點N，當⊙O2的大小變化時，給出下列兩個結論．

①BM-BN的值不變；②BM+BN的值不變，其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪一個結論正確，證明正確的結論并求出其值．

（友情提示：如圖3，如果DE∥BC，那么）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3（3）BM-BN=BG=2其值不變

【解析】試題分析：（1）連接O1A，AB，由圓O1與x軸切于A，根據切線的性質得到O1A⊥OA，由OB與AO垂直，根據平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到O1A與OB平行，根據兩直線平行內錯角相等，得到∠O1AB＝∠OBA，再由O1A＝O1B，根據等邊對等角可得出∠O1AB＝∠O1BA，等量代換可得出∠ABO1＝∠ABO，得證；

（2）連結CE，根據提示可得，設DB＝2x，則O1D＝5x，∴O1A＝O1B＝5x－2x＝3x，在Rt△DAO1中，利用勾股定理列出方程求出x的值，然后依據切割線定理求出OC、BC，由勾股定理可得AB，然后證△ABF∽△EBC，根據相似三角形的對應邊成比例變形即可得出結論；

（3）兩個結論中，①BM－BN的值不變正確，理由為：在MB上取一點G，使MG＝BN，連接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1為四邊形ABMN的外角，根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可得出∠ABO1＝∠NMA，再由∠ABO1＝∠ABO，等量代換可得出∠ABO＝∠NMA，然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABO＝∠ANM，等量代換可得出∠NMA＝∠ANM，根據等角對等邊可得出AM＝AN，再由同弧所對的圓周角相等，及OM＝BN，利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出AG＝AB，由AO與BG垂直，根據三線合一得到O為BG的中點，根據OB的長求出BG的長，然后BM－BN＝BM－MG＝BG，由BG為常數得到BM－BN的長不變，得證．

試題解析：

（1）證明：連結O1A，AB，

則O1A⊥OA，

∴O1A∥OB，

∴∠O1AB＝∠ABO，

又∵O1A＝O1B，

∴∠O1AB＝∠O1BA，

∴∠ABO1＝∠ABO；

（2）連結CE，∵O1A∥OB，∴ ，

設DB＝2x，則O1D＝5x，∴O1A＝O1B＝5x－2x＝3x，

在Rt△DAO1中，（3x）2＋（）2＝（5x）2，∴x＝，

∴O1A＝O1B＝，OB＝1，

∵OA是⊙O1的切線，∴OA2＝OB·OC，

∴OC＝4，BC＝3，AB＝，

∵E為優弧AC的中點，∴∠ABF＝∠EBC，

∵∠BAF＝∠E，

∴△ABF∽△EBC，

∴，

∴BE·BF＝AB·BC＝3．

（3）解：①BM－BN的值不變．

證明：在MB上取一點G，使MG＝BN，連結AM、AN、AG、MN，

∵∠ABO1＝∠ABO，∠ABO1＝∠AMN，∠ABO＝∠ANM，

∴∠AMN＝∠ANM，

∴AM＝AN，

∵∠AMG＝∠ANB，MG＝BN，

∴△AMG≌△ANB，

∴AG＝AB，

∵AD⊥BG，

∴BG＝2BO＝2，

∴BM－BN＝BG＝2其值不變．