Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P在拋物線上(與A，B兩點不重合)，若△ABP的三邊滿足AP2+BP2＝AB2，則我們稱點P為拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股點．

(1)直接寫出拋物線y＝x2﹣1的勾股點坐標為_____；

(2)如圖2，已知拋物線：y＝ax2+bx(a＜0，b＞0)與x軸交于A、B兩點，點P為拋物線的頂點，問點P能否為拋物線的勾股點，若能，求出b的值；

(3)如圖3，在平面直角坐標系中，點A(2，0)，B(12，0)，點P到x軸的距離為1，點P是過A、B兩點的拋物線上的勾股點，求過P、A、B三點的拋物線的解析式和點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)(0，﹣1)；(2)當b＝2時，點P為拋物線的勾股點；(3)當過P，A，B三點的拋物線的解析式為y＝﹣x2+14x﹣24時，點P的坐標為(7﹣2，1)或(7+2，1)；當過P，A，B三點的拋物線的解析式為y＝x2﹣14x+24時，點P的坐標為(7﹣2，﹣1)或(7+2，﹣1)．

【解析】

（1）根據拋物線 可知與 軸的交點坐標及的長度，設勾股點的坐標為，再根據勾股點的定義可求出勾股點的坐標；

（2）利用配方法可求出點的坐標，由點為拋物線的勾股點可知為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質即可求出的值；

（3）設點的坐標為 ，由到 軸的距離為1可知 ，根據勾股點的定義可列出關于的一元二次方程，即可得出點的坐標，由點 三點可設拋物線的解析式為 ，由的坐標利用系數待定法可求出該拋物線的解析式.

解：(1)當時， ，

解之得： ，

∴點A的坐標為 ，點B的坐標為 ， ．

設拋物線的勾股點坐標為，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ．

當 時， ，

解得： ．

∴拋物線 的勾股點坐標為 ．

故答案為： ．

(2)∵，

∴點P的坐標為 ．

若點P能為拋物線的勾股點，則為等腰直角三角形，

∴ ，

∴．

∴當時，點P為拋物線的勾股點．

(3)設點P的坐標為 ．

∵點P到x軸的距離為1，

∴．

∵ ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ，

根據兩點之間的距離公式

∴ ，

∴ ，

解得： ．

∴點P的坐標為，．

設過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ，

當點P的坐標為 時，將 代入 ，解之得：

，

∴設過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ，即 ．

同理：當點P的坐標為 時，過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ；

當點P的坐標為 時，過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ；

當點P的坐標為 時，過P，A，B三點的拋物線的解析式為 ．

綜上所述：當過P，A，B三點的拋物線的解析式為 時，點P的坐標為 或 ；

當過P，A，B三點的拋物線的解析式為 時，點P的坐標為 或 ．