Question

【題目】閱讀下面材料：

在學習《圓》這一章時，老師給同學們布置了一道尺規作圖題：

尺規作圖：過圓外一點作圓的切線．

已知：P為⊙O外一點．

求作：經過點P的⊙O的切線．

小敏的作法如下：如圖，

（1）連接OP，作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C．

（2）以點C為圓心，CO的長為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點．

（3）作直線PA，PB．

老師認為小敏的作法正確．

請回答：連接OA，OB后，可證∠OAP=∠OBP=90°，其依據是　 　；由此可證明直線PA，PB都是⊙O的切線，其依據是　 　．請寫出證明過程．

Answer 1

【答案】直徑所對圓周角為直角，經過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．證明詳見解析.

【解析】

根據圓周角定理以及切線的判定方法即可得解.

接OA，OB后，可證∠OAP=∠OBP=90°，其依據是直徑所對圓周角為直角；

由此可證明直線PA，PB都是⊙O的切線，其依據是經過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

證明過程如下：

由作圖可知OP為⊙C的直徑，

∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，

∵OA、OB是⊙O的半徑，

∴OP是⊙O的切線．

故答案為：直徑所對圓周角為直角，經過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．