Question

23、閱讀材料，解決問題：由3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，3⁶=729，3⁷=2187，3⁸=6561，…，
不難發現3的正整數冪的個位數字以3、9、7、1為一個周期循環出現，由此可以得到：
因為3¹⁰⁰=3^4×25，所以3¹⁰⁰的個位數字與3⁴的個位數字相同，應為1；
因為3²⁰⁰⁹=3^4×502+1，所以3²⁰⁰⁹的個位數字與3¹的個位數字相同，應為3．
（1）請你仿照材料，分析求出2⁹⁹的個位數字及9⁹⁹的個位數字；
（2）請探索出2²⁰¹⁰+3²⁰¹⁰+9²⁰¹⁰的個位數字；
（3）請直接寫出9²⁰¹⁰-2²⁰¹⁰-3²⁰¹⁰的個位數字．

Answer 1

分析：（1）此題不難發現：2ⁿ的個位數字是2，4，8，6四個一循環，所以99÷4=24…3，則2⁹⁹的個位數字是8；9ⁿ的個位數字是9，1兩個一循環，所以99÷2=49…1，則9⁹⁹的個位數字是9．
（2）分別找出2²⁰¹⁰和3²⁰¹⁰和9²⁰¹⁰的個位數字，然后個位數字相加所得個位數字就是2²⁰¹⁰+3²⁰¹⁰+9²⁰¹⁰的個位數字．
（3）分別找出9²⁰¹⁰和2²⁰¹⁰和3²⁰¹⁰的個位數字，然后個位數字相減所得個位數字就是9²⁰¹⁰-2²⁰¹⁰-3²⁰¹⁰的個位數字，注意不夠借位再減．

解答：解：（1）由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，
不難發現2的正整數冪的個位數字以2、4、8、6為一個周期循環出現，由此可以得到：
因為2⁹⁹=2^4×24+3，所以2⁹⁹的個位數字與2³的個位數字相同，應為8．
不難發現9的正整數冪的個位數字以9、1為一個周期循環出現，由此可以得到：
因為9⁹⁹=9^2×49+1，所以9⁹⁹的個位數字與9¹的個位數字相同，應為9．
（2）因為2²⁰¹⁰=2^4×502+2，所以2²⁰¹⁰的個位數字與2²的個位數字相同，應為4；
因為3²⁰¹⁰=3^4×502+2，所以3²⁰¹⁰的個位數字與3²的個位數字相同，應為9；
因為9²⁰¹⁰=9^2×1005，所以9²⁰⁰⁹的個位數字與9²的個位數字相同，應為1．
∴4+9+1=14．
∴2²⁰¹⁰+3²⁰¹⁰+9²⁰¹⁰的個位數字為4；
（3）9²⁰¹⁰-2²⁰¹⁰-3²⁰¹⁰的個位數字為21-4-9=-8．

點評：此題主要是考查乘方的尾數特征，解題關鍵是發現個位數字的循環規律，根據規律進行計算．