Question

【題目】如圖1，把一張長方形的紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在E處，BE交AD于點F．
（1）求證：FB=FD；
（2）如圖2，連接AE，求證：AE∥BD；
（3）如圖3，延長BA，DE相交于點G，連接GF并延長交BD于點H，求證：GH垂直平分BD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△BCD≌△BED，

∴∠DBC=∠EBD，

又∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠EBD，

∴BF=DF．

（2）證明：∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD=BC=BE，

又∵FB=FD，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF+∠AFE=2∠FBD+∠BFD=180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD；

（3）證明：∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

在△ABD與△EDB中，

∴△ABD≌△EDB（SSS），

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

又∵FB=FD，

∴GF是BD的垂直平分線，即GH垂直平分BD．

【解析】（1）由折疊的性質可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF；（2）根據長方形的性質可得和三角形內角和定理可得∠AEF=∠FBD，再根據平行線的判定即可求解；（3）先SSS證明△ABD≌△EDB，再根據全等三角形的性質和垂直平分線的性質即可求解．