如圖，六邊形ABCDEF內接于半徑為r（常數）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．
（1）當∠BAD=75°時，求 $數學公式$ 的長；
（2）求證：BC∥AD∥FE；
（3）設AB=x，求六邊形ABCDEF的周長L關于x的函數關系式，并指出x為何值時，L取得最大值．

（1）解：連接OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，
∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，
∴∠BOC=120°，
故 $\text{[math]}$ 的長為 $\text{[math]}$ ．

（2）證明：連接BD，∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，
同理EF∥AD，從而BC∥AD∥FE．

（3）解：過點B作BM⊥AD于M，由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，從而BC=AD-2AM=2r-2AM．
∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB，∴AM：AB=AB：AD，
∴AM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴BC=2r- $\text{[math]}$ ，同理EF=2r- $\text{[math]}$ ，
∴L=4x+2（2r- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ x²+4x+4r=- $\text{[math]}$ （x-r）²+6r，其中0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∴當x=r時，L取得最大值6r．
分析：（1）本題要靠輔助線的幫助．連接OB、OC，證明∠COD=∠AOB即可．
（2）連接BD，由（1）得BC∥AD，EF∥AD推出BC∥AD∥FE．
（3）過點B作BM⊥AD于M，由（2）得出四邊形ABCD為等腰梯形，證明△BAM∽△DAB．得出AM、BC、EF的關系然后可求出L的最大值．
點評：本題考查的是相似三角形的性質，弧長的計算以及二次函數的綜合運用，難度較大．

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科目：初中數學 來源： 題型：

23、如圖①：四邊形ABCD為正方形，M、N分別是BC和CD中點，AM與BN交于點P，
（1）請你用幾何變換的觀點寫出△BCN是△ABM經過什么幾何變換得來的；
（2）觀察圖①，圖中是否存在一個四邊形，這個四邊形的面積與△APB的面積相等？寫出你的結論．（不必證明）
（3）如圖②：六邊形ABCDEF為正六邊形，M、N分別是CD和DE的中點，AM與BN交于點P，問：你在（2）中所得的結論是否成立？若成立，寫出結論并證明，若不成立請說明理由．