Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0）B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點是四邊形是平行四邊形，求點D的坐標．
（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形△BOC相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：

，

解得： ，

所以函數解析式為：y=x2+2x

（2）

解：①以AE為邊時，∵A，O，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴DE=AO=2，D在x軸向方不可能，

∴D在x軸上方，且DE=2，當D點在對稱軸直線x=﹣1的右側時，D的坐標為（1，3）；

當D點在對稱軸直線x=﹣1的左側時，根據二次函數圖象的對稱性可知點D的坐標為（﹣3，3），

②以AO為對角線時，則DE與AO互相平分，

∵點E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標為﹣1，

由對稱性可知，符合條件的點D只有一個，與點C重合，即C（﹣1，﹣1），

綜上點D的坐標為（1，3）或（﹣3，3）（﹣1，﹣1）

（3）

解：假設存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似，如圖 ，

設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

由題意，△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①若△PMA∽△COB，則 = ，

即x+2=3（x2+2x），得

x1= ，x2=﹣2（舍去），當x= 時，y= ，即P（ ， ）；

②若△PMA∽△BOC， = ，

即：x2+2x=3（x+2），

得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當x=3時，y=15，即P（3，15）

故符合條件的點P有兩個，分別（ ， ）或（3，15）

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐標可求出OA的長，再根據四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=﹣1右側，進而可求出D橫坐標為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標；根據平行四邊形的對角線互相平分，可得答案；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．