Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，點P是與圓心C不重合的點，給出如下定義：若點P′為射線CP上一點，滿足CPCP′=r2 ， 則稱點P′為點P關于⊙C的反演點．右圖為點P及其關于⊙C的反演點P′的示意圖．

（1）如圖1，當⊙O的半徑為1時，分別求出點M（1，0），N（0，2），T（ ， ）關于⊙O的反演點M′，N′，T′的坐標；
（2）如圖2，已知點A（1，4），B（3，0），以AB為直徑的⊙G與y軸交于點C，D（點C位于點D下方），E為CD的中點．
①若點O，E關于⊙G的反演點分別為O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若點P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，設直線AP與x軸的交點為Q，點Q關于⊙G的反演點為Q′，請直接寫出線段GQ′的長度．

Answer 1

【答案】解：（1）∵ONON′=1，ON=2，
∴ON′=，∴反演點N′坐標（0，），
∵OMOM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演點M′坐標（1，0）
∵，
∴，
∵T′在第一象限的角平分線上，
∴反演點T′坐標（1，1）
（2）①由題意：AB=2，r=，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′GEG=5，
∴，
∵OGO′G=5，OG=2，
∴O′G=，
∵E′（﹣，2），O′（，），
∴O′E′=，
∴E′G2=E′O′2+O′G2 ，
∴∠E′O′G=90°
②如圖：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，
∴∠P1BQ1=45°，
∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，
∴△PBQ1是等腰直角三角形，
由△AP1B∽△BOC得到：=3，
∵AB=2，
∴BP1=，BQ1=2，Q1（5，0），
∵Q1′GGQ1=5，
∴Q1′G=，
∵∠P2AB=∠BAP1，
∴P1 ， P2關于直線AB對稱，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），
∴直線AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（,0），
由：Q2′GQ2G=5得到：Q2′G=．

【解析】（1）利用反演點定義，先求出：ON′，OT′，OM′的長度，然后求出它們的坐標；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理證明△E′O′G是RT△；
②考慮兩種情形，點P在直線AB左右都存在．