Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A、B的橫坐標分別為a、a+2，二次函數的圖象經過點A、B，且a、m滿足2a﹣m=d（d為常數）．

（1）若一次函數y1=kx+b的圖象經過A、B兩點．

①當a=1、d=﹣1時，求k的值；

②若y1隨x的增大而減小，求d的取值范圍；

（2）當d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時，判斷直線AB與x軸的位置關系，并說明理由；

（3）點A、B的位置隨著a的變化而變化，設點A、B運動的路線與y軸分別相交于點C、D，線段CD的長度會發生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①k的值為﹣3；②d＞﹣4；（2）AB∥x軸；（3）線段CD的長隨m的值的變化而變化，DC=|8﹣2m|．

【解析】試題分析：（1）①當a=1、d=﹣1時，m=2a﹣d=3，于是得到拋物線的解析式，然后求得點A和點B的坐標，最后將點A和點B的坐標代入直線AB的解析式求得k的值即可；

②將x=a，x=a+2代入拋物線的解析式可求得點A和點B的縱坐標，然后依據y1隨著x的增大而減小，可得到﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），結合已知條件2a﹣m=d，可求得d的取值范圍；

（2）由d=﹣4可得到m=2a+4，則拋物線的解析式為y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8，然后將x=a、x=a+2代入拋物線的解析式可求得點A和點B的縱坐標，最后依據點A和點B的縱坐標可判斷出AB與x軸的位置關系；

（3）先求得點A和點B的坐標，于是得到點A和點B運動的路線與字母a的函數關系式，則點C（0，2m），D（0，4m﹣8），于是可得到CD與m的關系式．

試題解析：解：（1）①當a=1、d=﹣1時，m=2a﹣d=3，所以二次函數的表達式是y=﹣x2+x+6．

∵a=1，∴點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為3，把x=1代入拋物線的解析式得：y=6，把x=3代入拋物線的解析式得：y=0，∴A（1，6），B（3，0）．

將點A和點B的坐標代入直線的解析式得：，解得：，所以k的值為﹣3．

②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），∴當x=a時，y=﹣（a﹣m）（a+2）；當x=a+2時，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），∵y1隨著x的增大而減小，且a＜a+2，∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，又∵2a﹣m=d，∴d的取值范圍為d＞﹣4．

（2）∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，∴m=2a+4，∴二次函數的關系式為y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．

把x=a代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8，∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵點A、點B的縱坐標相同，∴AB∥x軸．

（3）線段CD的長隨m的值的變化而變化．

∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m過點A、點B，∴當x=a時，y=﹣a2+（m﹣2）a+2m，當x=a+2時，y=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m，∴A（a，﹣a2+（m﹣2）a+2m）、B（a+2，﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m），∴點A運動的路線是的函數關系式為y1=﹣a2+（m﹣2）a+2m，點B運動的路線的函數關系式為y2=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m，∴點C（0，2m），D（0，4m﹣8），∴DC=|2m﹣（4m﹣8）|=|8﹣2m|，∴線段CD的長隨m的值的變化而變化．

當8﹣2m=0時，m=4時，CD=|8﹣2m|=0，即點C與點D重合；當m＞4時，CD=2m﹣8；當m＜4時，CD=8﹣2m．