Question

【題目】若實數a，b滿足a+b＝1時，就稱點P（a，b）為“平衡點”．

（1）判斷點A（3，﹣4）、B（-1，2-）是不是平衡點；

（2）已知拋物線y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3（t＞3）上有且只有一個“平衡點”，且當﹣2≤p≤3時，q的最小值為t，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）A不是平衡點，B是平衡點；

（2）t＝4+．

【解析】

（1）只需將橫縱坐標相加后是否等于即可判斷；

（2）由題意可設該平衡點為（a，1-a），代入拋物線中，由于有且只有一個平衡點，所以△=0，再利用題目的條件即可求出t的值.

解：（1）∵A的坐標是（3，﹣4）

3+（-4）=-1，不滿足“平衡點”的定義，

∴A不是平衡點；

又∵B的坐標是（-1，2-）

-1+2-=1，滿足“平衡點”的定義，

∴B是平衡點；

（2）設拋物線的平衡點為（a，1﹣a），

把（a，1﹣a）代入y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3；

∴化簡后可得：a2+（p﹣t）a+q+t﹣4＝0，

由于有且只有一個平衡點，

∴關于a的一元二次方程，△＝0，

∴化簡后為q＝（p﹣t）2+4﹣t，

∴q是p的二次函數，對稱軸為x＝t＞3，

∵﹣2≤p≤3，

∴q隨p的增大而減小，

∴當p＝3時，q可取得最小值，

∴（3﹣t）2+4﹣t＝t，

∴解得：t＝4±，

∵t＞3，

∴t＝4+．