Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）

（1）求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標；

（2）若（1）中拋物線的對稱軸上有點P，使△ABP的面積等于△ABC的面積的2倍，求出點P的坐標；

（3）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=（x﹣4）2﹣，A（2，0），B（6，0）；

（2）點P坐標（4，4）或（4，﹣4）；

（3）存在，QA+QC的最小值為．

【解析】（1）拋物線的頂點坐標為（4，﹣），可以假設拋物線為y=a（x﹣4）2﹣把點（0，2）代入得到a=，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣4）2﹣．

令y=0得到（x﹣4）2﹣=0，解得x=2或6，

∴A（2，0），B（6，0）．

（2）設P（4，m），

由題意：4|m|=2××4×2，解得m=±4，

∴點P坐標（4，4）或（4，﹣4）．

（3）存在．理由如下：

∵A、B關于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于Q，連接QA，此時QA+QC最短（兩點之間線段最短），

∴QA+QC的最小值=QA+QC=QB+QC=BC==．