Question

【題目】如圖，直線EF與⊙O相切于點C，點A為⊙O上異于點C的一動點，⊙O的半徑為4，ABEF于點B，設ACF=α(0°＜α＜180°).

（1）若α=，求證：四邊形OCBA為正方形；

（2）若AC―AB=1，求AC的長；

（3）當AC―AB取最大值時，求α的度數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC=；（3）∠α=或

【解析】

（1）連接OA，OC，證△ABC是等腰直角三角形，△OAC是等腰直角三角形，再證四邊形OCBA為矩形

由OA=OC，得四邊形OCBA為正方形；（2）作OHAB，設AC=x,則AB=x-1，由勾股定理得，在Rt△OAH中，，在Rt△OEC中，，；（3）根據銳角三角函數和相似三角形性質可得出差的函數解析式，再求最值.

解：（1）連接OA，OC

∵α=，ABEF

∴△ABC是等腰直角三角形

∵EF與⊙O相切于C

∴∠OCB=

∴∠OCA=

∴△OAC是等腰直角三角形

∴∠OCB=∠CBA=∠COA=900

∴四邊形OCBA為矩形

∵OA=OC

∴四邊形OCBA為正方形

（2）如圖，作OH⊥AB，

設AC=x,則AB=x-1

∵在Rt△OAH中，

又∵在Rt△OEC中，

∴

∴

即：AC=

（3）如圖，作OH⊥AC,則AC=2CH,設CH=x，AC=2x,

由（1）（2）可得

∴,即

∴AB=

∴AC-AB=y=2x-,∵當x=2時，y最大.

此時，sinα=

∴α=300

同理，當A在OC的左側時，α=1500，AC-AB的值最大.

∴當AC-AB取最大值時，α=或