Question

【題目】如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數軸向右翻滾至位置Ⅳ，其中位置Ⅰ中的MN平行于數軸，且半⊙P與數軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數軸;位置Ⅲ中的MN在數軸上.

解答下列問題：

(1)位置Ⅰ中的MN與數軸之間的距離為____________；

（2）位置Ⅱ中的半⊙P與數軸的位置關系是________；

（3）求位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數；

（4）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，求該紙片所掃過圖形的面積.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）相切；（3）；（4）掃過的圖形面積=

【解析】

（1）由圓的性質即可求解；

（2）由（1）中圓的半徑，再根據切線的性質進行解答；

（3）根據位置Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等求出的長，再根據弧長公式求出的長，進而可得出結論；

（4）作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，根據sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度數，進而可得出的長.

（1）∵⊙P的直徑=4，

∴⊙P的半徑=2；

（2）∵⊙P與直線有一個交點，

∴位置Ⅰ中的MN與數軸之間的距離為2，位置Ⅱ中的半⊙P與數軸的位置關系是相切；

（3）位置Ⅰ中的長與數軸上線段ON相等，

∵的長為=π，NP=2，

∴位置Ⅲ中的圓心P在數軸上表示的數為π+2；

（3）點N所經過路徑長為=2π，

S半圓==2π，S扇形==4π，

故半⊙P所掃過圖形的面積為2π+4π=6π．