Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒。

(1)出發2秒后，求△ABP的周長。

(2)當t為幾秒時，BP平分∠ABC?

(3)問t為何值時，△BCP為等腰三角形?

(4)另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動。當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分?

Answer 1

【答案】（1）16+2；（2）t=3秒時，AP平分∠CAB；（3）當t為6s或12s或10.8s或13s時，△BCP為等腰三角形；（4）當t為4秒或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分.

【解析】

（1）由勾股定理求出AC=8 cm，動點P從點C開始，出發2秒后，則CP=2 cm，AP=6 cm，由勾股定理求出PB，即可得出結果；

（2）過點P作PD⊥AB于點D，由HL證明Rt△APD≌Rt△APC，得出AD=AC=6cm，因此BD=10-6=4cm，設PC=x cm，則PB=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）分兩種情況：①若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，此時用的時間為6s；

②若P在AB邊上時，有三種情況：

i若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為4+8=12cm，用的時間為12時；

ii）若CP=BC=6cm，過C作CD⊥AB于點D，根據面積法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P運動的路程為18-7.2=10.8cm，即可得出結果；

ⅲ）若BP=CP，則∠PCB=∠B，證出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程為13cm，即可得出結果；

（4）分兩種情況：①當P、Q沒相遇前：如圖6，P點走過的路程為t，Q走過的路程為2t，根據題意得出方程，解方程即可；

②當P、Q沒相遇后：當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，根據題意得出方程，解方程即可；即可得出結果．

(1)如圖1,由∠C=90，AB=10cm，BC=6cm，

∴AC=8 cm，

∵動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，

∴出發2秒后，則CP=2 cm，AP=6 cm，

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB= =2cm，

∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=(16+2) cm.

(2)如圖2所示，過點P作PD⊥AB于點D，

∵AP平分∠CAB，

∴PD=PC.

在Rt△APD與Rt△APC中，

，

∴Rt△APD≌Rt△APC(HL),

∴AD=AC=6 cm，

∴BD=106=4 cm.

設PC=x cm,則PB=(8x)cm

在Rt△BPD中,PD2+BD2=PB2，

即x2+42=(8x)2，

解得：x=3,

∴當t=3秒時，AP平分∠CAB；

(3)①如圖3，若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，

此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形

②若P在AB邊上時，有三種情況：

i)如圖4，若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為4+8=12cm，

所以用的時間為12s時,△BCP為等腰三角形;

ii)如圖5，若CP=BC=6cm，

過C作CD⊥AB于點D，根據面積法得：高CD=4.8cm，

在Rt△PCD中，PD=3.6cm，∴BP=2PD=7.2cm，

∴P運動的路程為187.2=10.8cm，

∴用的時間為10.8s時,△BCP為等腰三角形;

ⅲ)如圖6，若BP=CP，則∠PCB=∠B，

∵∠ACP+∠BCP=90°,∠B+∠A=90°，

∴∠ACP=∠A，

∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程為13cm,所以時間為13s時,△BCP為等腰三角形.

綜上所述，當t為6s或12s或10.8s或13s時，△BCP為等腰三角形；

(4)分兩種情況：①當P、Q沒相遇前：如圖7，

P點走過的路程為tcm，Q走過的路程為2tcm，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t+2t=12，

∴t=4s;

②當P、Q沒相遇后：如圖8，

當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t8，AQ=2t16，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t8+2t16=12，

∴t=12s，

∴當t為4秒或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分.